2차원 등각 장론

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1. 개요
2. 정의
3. 2차원 등각 시공간
4. 성질
5. Chiral conformal field theory
6. 등각 부트스트랩
- 6.1. 구조 상수
- 6.2. 등각 블록
7. 예
8. 역사
9. 응용
- 9.1. 끈 이론
- 9.2. 임계 현상
참조

1. 개요

2차원 등각 장론(Conformal Field Theory, CFT)은 2차원 시공간에서 등각 대칭을 갖는 양자장론이다. 비라소로 대수를 포함하는 대칭 대수, 일차장과 이차장, 모드 전개, 에너지-운동량 텐서 등의 개념을 사용하며, 2차원 등각 장론은 리만 곡면에서 정의된다. 분배 함수, 상관 함수, 카디 엔트로피, c-정리 등의 성질을 가지며, 아핀 리 대수, 카이랄 CFT, 등각 와드 항등식, BPZ 방정식, 융합 규칙, 등각 부트스트랩 등의 개념을 포함한다. 2차원 자유 스칼라장, 축소화 자유 스칼라장, 자유 페르미온, 유령장, 최소 모형, 리우빌 장론 등 다양한 예시가 있으며, 끈 이론, 임계 현상 연구에 응용된다.

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2차원 등각 장론
기본 정보
분야	이론 물리학, 수학 물리학
세부 분야	양자장론
관련된 주제	끈 이론, 통계 역학, 응집물질물리학
유형	등각 장론
설명
정의	2차원 시공간에서 정의된 등각 대칭을 갖는 양자장론
응용
응용 분야	끈 이론 통계 역학의 임계 현상 응집물질물리학의 양자 홀 효과

2. 정의

2차원 등각 장론(CFT)은 국소 등각 사상이 정칙 함수인 리만 곡면에서 정의된다.^[5]^[6] 이는 구뿐만 아니라 다른 곡면에서도 존재할 수 있으며, 주어진 CFT가 존재하면 두 개의 리만 곡면을 붙여 새로운 곡면에서의 CFT를 얻는 것도 가능하다.^[5]^[6]^[10] 다만, 일부 CFT는 구에서만 존재하기도 한다. 별도로 언급되지 않는 한, 이 문서에서는 구에서의 CFT를 다룬다.

그레임 시걸은 등각 장론을 함자를 사용하여 다음과 같이 정의하였다.^[27] 원을 대상으로 하고, 리만 곡면에 의한 보충 경계를 사상으로 하는 범주 $\operatorname{Bord}_2^\text{conf}$ 와 힐베르트 공간의 범주 $\operatorname{Hilb}$ 를 생각할 때, 2차원 등각 장론은 특수한 함자 $\operatorname{Bord}_2^\text{conf}\to\operatorname{Hilb}$ 이다. 이 함자는 양 범주의 특정한 성질들을 보존해야 한다.

2. 1. 비라소로 대수

비라소로 대수는 2차원 등각 장론의 대칭 대수로,

L_n

(

n\in\mathbb Z

)과

c

로 생성되며, 다음과 같은 리 괄호를 갖는다.

:

[c,L_n]=0

:

[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac c{12}(m+1)m(m-1)\delta_{m+n}

중심 원소

c

가 0인 경우는 비트 대수라고 하며, 이는 비라소로 대수의 고전적인 형태로 볼 수 있다. 비트 대수는 고전적으로 다음과 같은 벡터장들로 생성된다.

:

L_n=-z^{n+1}\frac\partial{\partial z}

국소적인 복소 좌표

z

가 주어지면, 무한소 등각 사상의 실수 벡터 공간은 기저

(\ell_n+\bar\ell_n)_{n\in\mathbb{Z}} \cup (i(\ell_n-\bar\ell_n))_{n\in\mathbb{Z}}

를 가지며,

\ell_n = -z^{n+1}\frac{\partial}{\partial z}

이다. 여기서

\bar z

는

z

의 복소 켤레이다. 이 조건을 완화하여 무한소 등각 사상 공간을 복소화하면, 기저

(\ell_n)_{n\in\mathbb{Z}} \cup (\bar\ell_n)_{n\in\mathbb{Z}}

를 가진 복소 벡터 공간을 얻는다.

미분 연산자

\ell_n

은 교환자를 사용하여 비트 대수를 생성한다. 양자역학적 논증에 의해, 등각장론의 대칭 대수는 비트 대수의 중심 확장, 즉 비라소로 대수가 되며, 이의 생성자는

(L_n)_{n\in\mathbb{Z}}

와 중앙 생성자이다. 주어진 CFT에서 중앙 생성자는 '''중심 전하'''라고 불리는 상수 값

c

를 가진다.^[9]

따라서 대칭 대수는 두 개의 비라소로 대수의 곱이다. 하나는 생성자

L_n

을 가진 왼쪽 이동 또는 정칙 대수이고, 다른 하나는 생성자

\bar L_n

을 가진 오른쪽 이동 또는 반정칙 대수이다.^[9]

2. 2. 비라소로 대수의 표현

비라소로 대수의 표현론은 2차원 등각장론에서 중요한 역할을 한다.

임의의 정칙 사상

f\colon\mathbb C\to\mathbb C

에 대하여, 장들은 일반적으로 복잡하게 변환한다. 그 가운데, '''일차장'''(primary field^영어)들은 다음과 같이 변환한다.

:

(f^*O)(z,\bar z)=(\partial f)^h(\bar\partial\bar f)^{\bar h}O(f(z),\bar f(\bar z))

여기서

(h,\bar h)

는 일차장

O

의 '''등각 무게'''(conformal weight^영어)라고 한다. 또한, 이들로부터 '''스핀'''

s

와 '''차원'''(scaling dimension^영어)

\Delta

를 다음과 같이 정의한다.^[15]^[18]^[32]

:

s=h-\bar h

:

\Delta=h+\bar h

일차장의 변환이 잘 정의되기 위해서는 스핀과 차원이 둘 다 정수여야 한다.^[18] 다만, 무게

(h,\bar h)

자체는 정수일 필요가 없다.

일차장들은 에너지-운동량 텐서

T(z)

와 다음과 같은 연산자 곱 전개를 가진다.^[15]

:

T(z)O(w,\bar w)=\frac h{(z-w)^2}O(w,\bar w)+\frac1{z-w}\partial_w\Phi+\cdots

:

\bar T(\bar z)O(w,\bar w)=\frac{\bar h}{(\bar z-\bar w)^2}O(w,\bar w)+\frac1{\bar z-\bar w}\bar\partial_{\bar w}O(w,\bar w)+\cdots

즉, 모든

n>0

에 대하여, 일차장들은

L_n

,

\bar L_n

에 의하여 상쇄된다.

:

L_n|\phi\rangle=\bar L_n|\phi\rangle=0\forall n>0

:

L_0|\phi\rangle=h|\phi\rangle

:

\bar L_0|\phi\rangle=\bar h|\phi\rangle

반대로,

:

\langle\phi|L_{-n}=\langle\phi|\bar L_{-n}=0\forall n>0

:

\langle\phi|L_0=h\langle\phi|

:

\langle\phi|\bar L_0=\bar h\langle\phi|

이다.

일차장의 조건에서, 모든 양의

n

대신

n=1

인 경우의 조건만을 적용시키면, '''준일차장'''(quasiprimary field^영어)의 개념을 얻는다. 즉, 일차장은 비라소로 대수 전체에 대하여 잘 변환하는 반면, 준일차장은 비라소로 대수의 대역적 부분 대수

\{L_0,L_{\pm1},\bar L_0,\bar L_{\pm1}\}

에 대하여 잘 변환한다.

일차장에

L_{-n}

(

n>0

)을 가하여, 다양한 '''이차장'''(secondary field^영어)들을 정의할 수 있다. 즉, 만약

\phi

가 일차장이라면 다음은 모두 이차장이다.

:

L_{-1}\phi,\qquad L_{-3}L_{-2},\qquad L_{-4}L_{-2}^2L_{-1}\phi

주어진 일차장

\phi

로부터 정의되는 이차장들을

\phi

의 '''자손'''(descendent^영어)이라고 한다.

L_{-n}

을 가하면 무게

h

가

n

만큼 증가하고, 마찬가지로

\bar L_{-n}

을 가하면 무게

\bar h

가

n

만큼 증가한다. 일차장과 여기에 음수 차수 비라소로 연산자들을 가하여 얻은 이차장들의 집합을 '''베르마 가군'''이라고 하며, 베르마 가군의 '''무게'''는 그 일차장의 무게이다. 무게가

(h,\bar h)

인 베르마 가군에서, 무게가

(h+n,\bar h+\bar n)

인 이차장들의 수는

:

p(n)p(\bar n)

이다. 여기서

p(k)

는 분할수 함수이다. 다만, 베르마 가군의 원소 가운데 노름이 0 또는 음수인 경우는 물리적 힐베르트 공간에 포함시키지 않는다.

항등 연산자(진공)

1

은 일차장이며, 그 무게는

(h,\bar h)=(0,0)

이다. 에너지-운동량 텐서

T(z)

,

\bar T(\bar z)

는

1

의 자손이며, 구체적으로 다음과 같다.

:

T(z)=L_{-2}1

:

\bar T(z)=\bar L_{-2}1

비라소로 대수의 표현은 중심 원소

c

의 값에 따라 분류된다. 표현이 어떤 최고 무게(highest weight^영어) ''h''로부터 생성되는 경우를 '''최고 무게 표현'''(highest weight representation^영어)이라고 한다. 유니터리 기약 최고 무게 표현은 그 중심 원소 ''c''와 최고 무게 ''h''로 분류된다. 유니터리 표현의 경우

:

c,h\ge0

이다. 가능한

c

의 값들은 다음과 같다.^[26]

c\ge1

인 경우, 모든

h\ge0

에 대한 표현

(c,h)

가 존재한다.

c<1

인 경우에는 다음과 같은 값들만이 존재한다.

:

c=1-\frac6{m(m+1)}

:

h=h_{p,q}(c)\equiv\frac{((m+1)p-mq)^2-1}{4m(m+1)}

:

m=2,3,4,\dots

:

p=1,2,\dots,m-1

:

q=1,2,\dots,p

후자의 경우를 '''최소 모형'''이라고 한다.

2. 3. 모드 전개

준일차장들의 푸리에 전개는 다음과 같이 쓸 수 있다.^[15]^[16]^[17]

:

\phi(z,\bar z)=\sum_{n\in\mathbb Z+\eta}\sum_{\bar n\in\mathbb Z+\bar\eta}\phi_{n,\bar n}z^{-h-n}\bar z^{-\bar h-\bar n}

여기서

\phi_{n,\bar n}

은 무게

(h,\bar n)

을 갖는다.

\eta

와

\bar\eta

의 값은 부여하는 경계 조건에 따라 달라진다.

무게가

(h,0)

인 일차장

\phi(z)

의 경우,

:

\phi(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty z^n\phi_{-h-n}

:

\phi_{-h-n}=\oint\frac{dz}{2\pi i}z^{-n-1}\phi(z)

이다.

|\phi\rangle=\phi(0)|0\rangle

이 정의돼야 하므로

:

\phi_{-h-n}=0\forall n<0

이며,

:

|\phi\rangle=\lim_{z\to0}\phi(z)|1\rangle=\phi_{-h}|1\rangle

이다. 즉,

\phi_{-h}

는

|\phi\rangle

의 생성 연산자이다.

모드 성분

\phi_{n,\bar n}

의 에르미트 수반은 다음과 같다.^[17]

:

\phi_{n,\bar n}^\dagger=\phi_{-n,-\bar n}

2. 4. 에너지-운동량 텐서

2차원 양자장론의 에너지-운동량 텐서

T_{ij}

는 2×2 대칭 행렬이므로 일반적으로 3개의 성분을 갖는다. 하지만 2차원 등각 장론의 경우 에너지-운동량 텐서의 대각합이 0이므로 2개의 성분만 남는다. 이들은 복소 좌표

z,\bar z

기저로 다음과 같이 쓸 수 있다.^[32]

:

T=\begin{pmatrix}T_{zz}&T_{z\bar z}\\T_{\bar zz}&T_{\bar z\bar z}\end{pmatrix}

:

T_{z\bar z}=T_{\bar zz}=0

:

T_{zz}(z)\equiv T(z)

:

T_{\bar z\bar z}\equiv\bar T(\bar z)

또한, 다음이 성립한다.

:

\bar\partial T=0

:

\partial\bar T=0

즉, 에너지-운동량 텐서

T_{ij}(z,\bar z)

는

T(z)

,

\bar T(\bar z)

로 나타낼 수 있다.

에너지-운동량 텐서의 푸리에 성분은 다음과 같이 정의한다.^[32]

:

T(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty z^nL_{-n-2}

:

\bar T(\bar z)=\sum_{n=-\infty}^\infty\bar z^n\bar L_{-n-2}

이는 경로적분법으로 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

L_n=\oint\frac{dz}{2\pi i}z^{n+1}T(z)

:

\bar L_n=\oint\frac{dz}{2\pi i}\bar z^{n+1}\bar T(\bar z)

이들은 비라소로 대수를 따르며, 에너지-운동량 텐서의 에르미트성에 따라서 다음이 성립한다.

:

L_n^\dagger=L_{-n}

:

\bar L_n^\dagger=\bar L_{-n}

2차원 등각 장론의 1차장

\mathcal O

는 다음과 같은 연산자 곱 전개(OPE)를 갖는다.^[32]

:

T(z)\mathcal O(0)=\frac{h\mathcal O(0)}{z^2}+\frac{\partial\mathcal O(0)}z+:T(z)\mathcal O(0):

:

\bar T(z)\mathcal O(0)=\frac{\bar h\mathcal O(0)}{z^2}+\frac{\bar\partial\mathcal O(0)}{\bar z}+:\bar T(\bar z)\mathcal O(0):

이러한 꼴의 연산자 곱 전개는 국소장이 1차장이 될 필요충분조건이다.

국소적인 복소 좌표

z

가 주어지면, 무한소 등각 사상의 실수 벡터 공간은 기저

(\ell_n+\bar\ell_n)_{n\in\mathbb{Z}} \cup (i(\ell_n-\bar\ell_n))_{n\in\mathbb{Z}}

를 가지며,

\ell_n = -z^{n+1}\frac{\partial}{\partial z}

이다. 예를 들어,

\ell_{-1}+\bar\ell_{-1}

과

i(\ell_{-1}-\bar\ell_{-1})

는 평행 이동을 생성한다.

표준적인 양자역학적 논증에 의해, 등각장론의 대칭 대수는 비트 대수의 중심 확장, 즉 비라소로 대수여야 하며, 이의 생성자는

(L_n)_{n\in\mathbb{Z}}

와 중앙 생성자이다. 주어진 CFT에서, 중앙 생성자는 '''중심 전하'''라고 불리는 상수 값

c

를 갖는다.^[9]

특히, 에너지-운동량 텐서와 기본 장의 OPE는 다음과 같다.^[9]

:

T(y)V_\Delta(z) = \frac{\Delta}{(y-z)^2} V_\Delta(z) + \frac{1}{y-z}\frac{\partial}{\partial z} V_\Delta(z) + O(1).

에너지-운동량 텐서 자체의 OPE는 다음과 같다.^[9]

:

T(y)T(z) = \frac{\frac{c}{2}}{(y-z)^4} + \frac{2T(z)}{(y-z)^2} + \frac{\partial T(z)}{y-z} + O(1),

여기서

c

는 중심 전하이다. 이 OPE는 비라소로 대수의 교환 관계와 동등하다.

2. 5. 범주론적 정의

그레임 시걸은 등각 장론을 함자의 개념을 사용하여 다음과 같이 정의하였다.^[27] 원을 대상으로, 리만 곡면에 의한 보충 경계를 사상으로 하는 범주

\operatorname{Bord}_2^\text{conf}

를 생각하자. 또한,

\operatorname{Hilb}

는 힐베르트 공간의 범주다. 그렇다면, (2차원) '''등각 장론'''은 특수한 함자

\operatorname{Bord}_2^\text{conf}\to\operatorname{Hilb}

이다. 여기서 이 함자는 양 범주의 특정한 성질들을 보존하여야 한다.

3. 2차원 등각 시공간

2차원에서는 (유클리드 계량 부호수에서의) 등각 구조가 복소 구조와 같다. 따라서 2차원 유클리드 등각 장론에서의 공간은 리만 곡면의 구조를 가지며, 공간의 좌표는 통상적으로 복소 좌표 $z$ 로 나타낸다. 즉, 벡터 $(x,y)\in\mathbb R^2$ 가 주어지면

: $(z,\bar z)=(x+iy,x-iy)$

로 정의한다. 통상적으로 (반)정칙적인 미분을 다음과 같이 정의한다.

: $\partial=\frac\partial{\partial z}$

: $\bar\partial=\frac\partial{\partial\bar z}$

이 경우, 고전적인 등각 대칭은 다음과 같은 '''비트 대수'''(Witt algebra|비트 대수^영어)에 의하여 생성된다.

: $L_n=-z^{n+1}\partial$

: $\bar L_n=-\bar z^{n+1}\bar\partial$

이들은 다음과 같은 대수를 만족시킨다.

: $[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}$

: $[\bar L_m,\bar L_n]=(m-n)\bar L_{m+n}$

양자화 후에는 여기에 변칙적인 항이 추가돼 비라소로 대수가 된다.

2차원 등각 장론(CFT)은 국소 등각 사상이 정칙 함수인 리만 곡면에서 정의된다. CFT는 주어진 리만 곡면에서만 존재할 수 있지만, 구 이외의 다른 곡면에서의 존재는 모든 곡면에서의 존재를 의미한다.^[5]^[6] CFT가 주어지면, CFT가 존재하는 두 개의 리만 곡면을 붙여서 붙여진 곡면에서 CFT를 얻는 것이 가능하다.^[5]^[10] 반면에, 일부 CFT는 구에서만 존재한다. 별도로 언급하지 않는 한, 이 문서에서는 구에서의 CFT를 고려한다.

4. 성질

2차원 등각 장론에서, 어떤 성질이 두 비라소로 대수 중 하나의 작용으로부터 유도될 경우 이를 '''카이랄'''이라고 부른다. 만약 상태 공간이 두 비라소로 대수의 곱의 표현으로 분해될 수 있다면, 등각 대칭의 모든 결과는 카이랄하다. 즉, 두 비라소로 대수의 작용을 개별적으로 연구할 수 있다.

4. 1. 분배 함수

2차원 등각 장론의 분배 함수는 특별한 성질을 갖는다. 분배 함수를 정의하기 위해, 우선 진동 모드들을 이산화하기 위하여 공간을 축소화한다. 즉, 공간에 주기적인 경계 조건을 주어, 원으로 만든다. 또한, 시간에도 주기적인 경계 조건을 주는데, 이 경우 시간의 주기는 온도의 역수가 된다. 이에 따라, 2차원 등각 장론의 분배 함수를 계산하려면, 등각 장론을 (복소 구조가 주어진) 원환면, 즉 타원 곡선 위에 정의하면 된다.

타원 곡선의 복소 구조는 상반평면의 한 원소

:

\tau\in\mathbb H

로 나타내어진다. 모듈러 군의 작용에 따라, 같은 궤도에 속한

\tau

는 같은 복소 구조를 나타낸다.

:

\tau\mapsto\tau+1

:

\tau\mapsto-1/\tau

따라서, 등각 장론의 분배 함수

\mathcal Z(\tau,\bar\tau)

는

\tau

,

\bar\tau

에 대한 함수이며, 위와 같은 모듈러 변환에 대하여 불변이다.

:

\mathcal Z(\tau,\bar\tau)=\mathcal Z(\tau+1,\bar\tau+1)=\mathcal Z(-1/\tau,-1/\bar\tau)

이는 구체적으로 다음과 같이 정의된다.

:

\mathcal Z(\tau,\bar\tau)=\operatorname{tr}_{\mathcal H}\left(q^{L_0-c/24}\bar q^{\bar L_0-\bar c/24}\right)

여기서

$q=\exp(2\pi i\tau)$
$\mathcal H$ 는 등각 장론의 힐베르트 공간이다. 즉, 노름이 양수인 모든 상태들의 내적공간이다.
$(c,\bar c)$ 는 등각 장론의 비라소로 대수의 중심 전하이다.

모듈러 불변인 등각 장론은 타원 곡선(종수 1 리만 곡면) 위에 정의될 수 있다. 또한, 모듈러 불변 등각 장론은 임의의 종수의 리만 곡면 위에 정의할 수 있다. 즉, 고차 종수에서의 제약들은 종수 1에서 완전히 나타난다.

4. 2. 상관 함수

2차원 등각 장론에서, 등각 무게가 각각

(h_i,\bar h_i)

인 연산자

O_i

들의 2점 상관 함수는 다음과 같은 형태를 가진다.

:

\langle1|O_i(z_1)O_j(z_2)|1\rangle=C_{ij}z_{12}^{-h_i+h_j}\bar z_{12}^{-\bar h_i-\bar h_j}

3점 상관 함수는 다음과 같다.

:

\langle1|O_i(z_1)O_j(z_2)O_k(z_3)|1\rangle=C_{ijk}z_{12}^{-h_i-h_j+h_k}z_{23}^{h_i-h_j-h_k}z_{13}^{-h_1+h_2-h_3}\bar z_{12}^{-\bar h_i-\bar h_j+\bar h_k}\bar z_{23}^{\bar h_i-\bar h_j-\bar h_k}\bar z_{13}^{-\bar h_1+\bar h_2-\bar h_3}

여기서

z_{ij}=z_i-z_j

,

\bar z_{ij}=\bar z_i-\bar z_j

이다.

4점 이상의 상관 함수는 등각 대칭에 의해 완전히 결정되지 않는다. 리만 구의 등각 대칭(뫼비우스 변환)을 사용하여 임의의 3개의 점을 원하는 위치로 고정할 수 있지만, 4번째 점은 고정할 수 없기 때문이다.

N

-점 상관 함수는

N

개의 장에 선형적으로 의존하는 숫자로,

\left\langle V_1(z_1)\cdots V_N(z_N)\right\rangle

로 표시하며

i\neq j\Rightarrow z_i\neq z_j

이다. 경로 적분 공식에서 상관 함수는 함수 적분으로 정의된다. 컨포멀 부트스트랩 접근 방식에서 상관 함수는 공리에 의해 정의된다. 특히, 연산자 곱 전개(OPE)가 존재한다고 가정한다.^[1]

:

V_1(z_1)V_2(z_2) = \sum_i C_{12}^{v_i}(z_1,z_2) V_{v_i}(z_2)\ ,

여기서

\{v_i\}

는 상태 공간의 기저이며 숫자

C_{12}^{v_i}(z_1,z_2)

는 OPE 계수라고 한다. 또한 상관 함수는 장에 대한 순열에 대해 불변한다고 가정하며, OPE는 결합 법칙과 교환 법칙을 따른다고 가정한다.

4. 3. 카디 엔트로피

2차원 등각 장론의 경우, 모듈러 불변성을 사용하여, 매우 높은 에너지

E

에서의 상태 밀도

N(E)

가 다음과 같은 꼴임을 보일 수 있다.^[28]^[29]^[30]^[17]^[31]^[32]

:

N(E)\sim\exp(4\pi\sqrt{cE/6})

여기서 ''c''는 등각 장론의 중심 원소다. 즉, 그 로그를 취하면 2차원 등각 장론의 엔트로피는 다음과 같다.

:

S(E)\approx4\pi\sqrt{cE/6}

이를 '''카디 엔트로피 공식'''(Cardy entropy formula^영어)이라고 한다. 이 공식은 끈 이론에서 블랙홀 엔트로피를 계산할 때 쓰인다.

4. 4. ''c''-정리

''c''-정리는 임의의 2차원 양자 장론에서 ''c''라는 값이 재규격화군 흐름에 따라 항상 감소하며, 재규격화군 부동점에서는 에너지에 상관없이 일정하고, 그 값이 비라소로 대수의 중심원소 값과 일치한다는 정리이다.^[1] 이는 재규격화군에 따라 높은 에너지의 물리가 잊혀지면서 자유도가 감소하는 것으로 해석할 수 있다.

4. 5. 아핀 리 대수

등각 장론은 등각 대칭 외에도 다른 대역적인 대칭을 가질 수 있다. 예를 들어, 이론이 콤팩트 리 군

G

꼴의 대칭을 갖는 경우, 대칭 생성원

Q^a

(

a=1,\dots,\dim G

)는

G

의 리 대수

\mathfrak g

값을 가지는 연산자들이며, 이들은 다음과 같은 교환 관계를 만족시킨다.

:

[Q^a,Q^b]=if^{ab}{}_cQ^c

등각 장론이 대칭

G

를 가질 경우, 대칭 생성원뿐만 아니라 대칭에 따른 보존류

j^a

들도 연산자 곱 전개에 의해 대수를 이룬다. 이 보존류들은 무게가 1인 1차장들이며, 이들의 푸리에 급수를

:

j^a=\sum_nj_n^az^{-n-1}

로 정의하면

:

j^a_0=Q^a

가 된다. 이들의 교환 관계는 다음과 같다.

:

[j^a_m,j^b_n]=\frac12km\delta^{ab}\delta_{m+n,0}+if^{ab}{}_cj^c_{m+n}

이들은 무한 차원 리 대수를 이루며, 이를 '''아핀 리 대수''' 또는 '''카츠-무디 대수'''(Kač–Moody algebra^영어)라고 부른다.^[33] 여기서

k\in\mathbb Z

는 이론마다 다른 정수이며, 아핀 리 대수의 '''레벨'''(level^영어)이라고 한다.

대표적으로, 과녁 공간이 리 군

G

인 시그마 모형을 생각할 수 있는데, 이 경우 적절한 항들을 추가하면 등각 장론으로 만들 수 있다. 이러한 모형을 '''베스-추미노-위튼 모형'''이라고 하며, 리 군 속에서 움직이는 끈을 나타낸다.

5. Chiral conformal field theory

2차원 등각 장론에서 어떤 성질이 두 비라소로 대수 중 하나의 작용으로 유도될 경우, 이를 '''카이랄'''이라고 부른다. 상태 공간이 두 비라소로 대수의 곱의 표현으로 분해될 수 있다면, 등각 대칭의 모든 결과는 카이랄하며, 두 비라소로 대수의 작용을 개별적으로 연구할 수 있다.

비라소로 대수의 보편 포락 대수에서는 상호 교환하는 무한 집합의 전하를 구성할 수 있다. 첫 번째 전하는 $L_0-\frac{c}{24}$ 이고, 두 번째 전하는 비라소로 생성자에 대해 2차, 세 번째 전하는 3차 등이다. 이는 모든 2차원 등각장론이 양자 적분 가능 시스템임을 보여준다.^[8]

5. 1. 등각 와드 항등식

국소적인 복소 좌표

z

가 주어질 때, 무한소 등각 사상의 실수 벡터 공간은 기저를 가지며, 이를 통해 비트 대수를 생성한다. 등각장론의 대칭 대수는 비트 대수의 중심 확장인 비라소로 대수이며, 이의 생성자는

(L_n)_{n\in\mathbb{Z}}

와 중앙 생성자이다. 주어진 CFT에서 중앙 생성자는 '''중심 전하'''라고 불리는 상수 값

c

를 가진다.^[9]

대칭 대수는 두 개의 비라소로 대수의 곱으로, 생성자

L_n

을 가진 왼쪽 이동 또는 정칙 대수와 생성자

\bar L_n

을 가진 오른쪽 이동 또는 반정칙 대수로 구성된다.^[9]

'''상태-장 대응'''은 상태 공간에서 장 공간으로의 선형 사상으로, 대칭 대수의 작용과 가환한다. 최저 무게 표현의 기본 상태 이미지는 주요장^[1]이며, 특정 조건을 만족한다.

'''

N

-점 상관 함수'''는

N

개의 장에 선형적으로 의존하는 숫자로 표현되며, 경로 적분 공식이나 컨포멀 부트스트랩 접근 방식으로 정의된다. 연산자 곱 전개(OPE)를 통해 상관 함수를 표현할 수 있다.^[1]

장의 위치에 따른 의존성은 에너지-운동량 텐서와의 OPE를 통해 정의되며, 에너지-운동량 텐서 자체의 OPE는 중심 전하를 포함한다.^[9]

'''등각 와드 항등식'''은 등각 대칭의 결과로 상관 함수가 따르는 선형 방정식이다.^[9] 이를 통해 상관 함수에 대한 정보를 얻을 수 있으며, 그 해는 등각 블록이다.

예를 들어, 구면에서의 등각 와드 항등식을 고려하면, 기본 장의

N

점 함수에 대한 방정식을 유도할 수 있다. 이를 통해 '''국소 와드 항등식'''과 '''전역 등각 와드 항등식'''을 추론할 수 있으며, 이는 2점 함수와 3점 함수가

z

에 어떻게 의존하는지를 결정한다.

5. 2. BPZ 방정식

알렉산더 벨라빈(Alexander Belavin), 알렉산드르 폴랴코프(Alexander Markovich Polyakov)와 알렉산드르 자몰로드치코프(Alexander Zamolodchikov)의 이름을 따서 명명된 '''벨라빈-폴랴코프-자몰롯치코프 방정식'''(Belavin-Polyakov-Zamolodchikov Equation, BPZ Equation)은 퇴화된 장(degenerate field)을 포함하는 상관 함수가 만족하는 선형 편미분 방정식이다.^[1] 이 방정식의 차수는 해당 퇴화 표현의 영 벡터(null vector)의 레벨과 같다.

사소한 예는 1차 BPZ 방정식이다.

:

\frac{\partial}{\partial z_1} \left\langle V_{1, 1}(z_1) V_2(z_2) \cdots V_N(z_N) \right\rangle = 0.

이는 다음에서 유도된다.

:

\frac{\partial}{\partial z_1} V_{1, 1}(z_1) = L_{-1} V_{1, 1}(z_1) = 0.

첫 번째 비자명 예시는 레벨 2에서 소멸하는 영 벡터를 가진 퇴화 장

V_{2,1}

을 포함한다.

:

\left (L_{-1}^2 + b^2 L_{-2} \right )V_{2, 1}=0,

여기서

b

는 중심 전하(central charge)와 다음과 같이 관련이 있다.

:

c= 1+6 \left (b+b^{-1} \right )^2.

그러면

V_{2,1}

과

N-1

개의 다른 기본 장(primary field)의

N

-점 함수는 다음을 따른다.

:

\left( \frac{1}{b^2} \frac{\partial^2}{\partial z_1^2} + \sum_{i=2}^N \left(\frac{1}{z_1-z_i} \frac{\partial}{\partial z_i} + \frac{\Delta_i}{(z_1-z_i)^2} \right)\right) \left\langle V_{2, 1}(z_1) \prod_{i=2}^N V_{\Delta_i}(z_i) \right\rangle = 0.

퇴화 장

V_{r,s}

을 포함하는 상관 함수에 대한

rs

차 BPZ 방정식은 영 벡터의 소멸과 국소적인 Ward 항등식에서 유도될 수 있다. 전역 Ward 항등식 덕분에, 4점 함수는 4개의 변수 대신 하나의 변수로 작성될 수 있으며, 4점 함수에 대한 BPZ 방정식은 상미분 방정식으로 축소될 수 있다.

5. 3. 융합 규칙

2차원 등각 장론에서 퇴화장을 포함하는 연산자 곱 전개(OPE)에서 널 벡터의 소멸과 등각 대칭은 어떤 주된 장이 나타날 수 있는지를 제한한다. 이러한 제약 조건을 '''융합 규칙'''이라고 부른다.^[9]

운동량

\alpha

를 사용하여 주된 장을 매개변수화 하기 위해 등각 차원

\Delta

대신에 다음 식을 사용한다.

:

\Delta=\alpha \left (b+b^{-1}-\alpha \right )

융합 규칙은 다음과 같이 주어진다.

:

V_{r,s} \times V_\alpha = \sum_{i=0}^{r-1}\sum_{j=0}^{s-1} V_{\alpha + \left (i-\frac{r-1}{2} \right )b + \left (j-\frac{s-1}{2} \right )b^{-1}}

특히, 다음과 같은 식들이 성립한다.

:

\begin{align}V_{1,1}\times V_\alpha &= V_\alpha \\[6pt]V_{2,1}\times V_\alpha &= V_{\alpha-\frac{b}{2}} + V_{\alpha+\frac{b}{2}} \\[6pt]V_{1,2}\times V_\alpha &= V_{\alpha-\frac{1}{2b}} + V_{\alpha+\frac{1}{2b}}\end{align}

융합 규칙은 주어진 중심 전하에서 비라소로 대수 표현의 결합 '''융합 곱'''의 관점에서 대수적으로 정의될 수도 있다. 융합 곱은 표현의 텐서 곱과는 다르다. (텐서 곱에서는 중심 전하가 더해진다.) 특정 유한한 경우, 이것은 융합 범주의 구조로 이어진다.

등각 장 이론은 두 개의 분해 불가능한 표현의 융합 곱이 유한하게 많은 분해 불가능한 표현의 합인 경우 '''준-유리적'''이다.^[7] 예를 들어, 일반화된 최소 모형은 유리적이 아니면서도 준-유리적이다.

6. 등각 부트스트랩

등각 부트스트랩은 구조 상수와 등각 블록의 조합으로 모든 상관 함수를 나타내어, 대칭성과 일관성 가정만을 사용하여 등각장론(CFT)을 정의하고 해를 구하는 방법이다. 2차원에서는 이 방법을 통해 특정 CFT의 정확한 해를 구할 수 있으며, 유리 이론의 분류로 이어진다.^[9]

상관 함수는 여러 방식으로 등각 블록으로 표현될 수 있는데, 이렇게 얻어진 표현식들이 동일하다는 조건은 상태 공간과 3점 구조 상수에 대한 제약 조건을 제공한다. 이러한 제약 조건을 '''등각 부트스트랩 방정식'''이라고 한다. 등각 와드 항등식은 상관 함수에 대한 선형 방정식인 반면, 등각 부트스트랩 방정식은 3점 구조 상수에 비선형적으로 의존한다.

예를 들어, 4점 함수 $\left\langle V_1V_2V_3V_4 \right\rangle$ 는 연산자 곱 전개(OPE) $V_1V_2$ ('''s-채널'''), $V_1V_4$ ('''t-채널''') 또는 $V_1V_3$ ('''u-채널''')을 사용하여 세 가지 방식으로 등각 블록으로 표현될 수 있다. 이 세 가지 표현식이 동일하다는 조건은 4점 함수의 교차 대칭성이라고 하며, 이는 OPE의 결합 법칙과 같다.^[1]

토러스 분할 함수는 토러스의 모듈러스에 대한 모듈러 군의 작용에 대해 불변하며, 이는 $Z(\tau) = Z(\tau+1)=Z(-\frac{1}{\tau})$ 와 같이 표현된다. 이 불변성은 상태 공간에 대한 제약 조건이 된다. 모듈러 불변 토러스 분할 함수에 대한 연구는 '''모듈러 부트스트랩'''이라고도 불린다.

구면 위의 CFT가 일관성을 가지려면 4점 함수의 교차 대칭성이 만족되어야 한다. 모든 리만 곡면 위의 CFT가 일관성을 가지려면 토러스 1점 함수의 모듈러 불변성 또한 필요하다.^[5] 하지만 토러스 분할 함수의 모듈러 불변성은 CFT가 존재하기 위한 필요충분조건은 아니다. 그럼에도 불구하고 표현의 지표가 구면 4점 등각 블록과 같은 다른 종류의 등각 블록보다 더 간단하기 때문에, 합리적인 CFT에서 널리 연구되고 있다.

6. 1. 구조 상수

$ V_i$를 왼쪽 및 오른쪽 주 장(field)이라 하고, 왼쪽 및 오른쪽 등각 차원(https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%93%B1%EA%B0%81_%EC%B0%A8%EC%9B%90)을 $\Delta_i$와 $\bar \Delta_i$라 하자. 왼쪽과 오른쪽 전역

:

\begin{align}& \left\langle V_1(z_1)V_2(z_2)V_3(z_3) \right\rangle = C_{123}\\& \qquad \times (z_1-z_2)^{\Delta_3-\Delta_1-\Delta_2} (z_2 -z_3)^{\Delta_1-\Delta_2-\Delta_3} (z_1 -z_3)^{\Delta_2-\Delta_1-\Delta_3}\\& \qquad \times(\bar z_1-\bar z_2)^{\bar \Delta_3-\bar \Delta_1-\bar \Delta_2} (\bar z_2 -\bar z_3)^{\bar \Delta_1-\bar \Delta_2-\bar \Delta_3} (\bar z_1 -\bar z_3)^{\bar \Delta_2-\bar \Delta_1-\bar \Delta_3}\ ,\end{align}

여기서 $z_i$에 독립적인 수 $C_{123}$를 '''삼점 구조 상수'''라고 한다. 삼점 함수가 단일 값을 가지려면 주장의 왼쪽 및 오른쪽 등각 차원이 다음 조건을 만족해야 한다.

:

\Delta_i- \bar \Delta_i \in \frac12\mathbb{Z} \ .

이 조건은 보존장 (

삼점 구조 상수는 OPE(https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%97%B0%EC%82%B0%EC%9E%91%EC%9D%98_%EC%A0%91%EC%9E%85)에도 나타난다.

:

V_1(z_1)V_2(z_2) = \sum_{i} C_{12i} (z_1-z_2)^{\Delta_i-\Delta_1-\Delta_2} (\bar z_1 -\bar z_2)^{\bar \Delta_i-\bar \Delta_1-\bar \Delta_2} \Big(V_{i}(z_2) + \cdots \Big)\ .

점들로 표시된 자손장의 기여는 등각 대칭(https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%93%B1%EA%B0%81_%EB%8C%80%EC%B9%A8)에 의해 완전히 결정된다.^[9]

6. 2. 등각 블록

모든 상관 함수는 '''등각 블록'''의 선형 결합으로 표현될 수 있다. 등각 블록은 등각 대칭에 의해 결정되며, 대칭 대수의 표현에 의해 라벨이 지정되는 함수이다. 선형 결합의 계수는 구조 상수들의 곱이다.^[1]

2차원 등각 장론(CFT)에서 대칭 대수는 비라소로 대수의 두 사본으로 인수분해되며, 기본 장을 포함하는 등각 블록은 '''정칙 인수분해'''를 갖는다. 즉, 왼쪽으로 움직이는 비라소로 대수에 의해 결정되는 국소 정칙 인자와 오른쪽으로 움직이는 비라소로 대수에 의해 결정되는 국소 반정칙 인자의 곱이다. 이러한 인자 자체를 등각 블록이라고 한다.

예를 들어, 기본장의 4점 함수에서 처음 두 필드의 연산자 곱 전개(OPE)를 사용하면 다음과 같다.

:

\left\langle \prod_{i=1}^4 V_{i}(z_i) \right\rangle = \sum_{s} C_{12s} C_{s34} \mathcal{F}^{(s)}_{\Delta_s}(\{\Delta_i\},\{z_i\}) \mathcal{F}^{(s)}_{\bar \Delta_s}(\{\bar \Delta_i\},\{\bar z_i\})\ ,

여기서

\mathcal{F}^{(s)}_{\Delta_s}(\{\Delta_i\},\{z_i\})

는 '''s 채널 4점 등각 블록'''이다. 4점 등각 블록은 알렉세이 자몰로드치코프의 재귀 관계를 사용하여 효율적으로 계산할 수 있는 복잡한 함수이다. 네 필드 중 하나가 퇴화되면, 해당 등각 블록은 BPZ 방정식을 따른다. 특히 네 필드 중 하나가

V_{2,1}

인 경우, 해당 등각 블록은 초기하 함수로 표현될 수 있다.

에드워드 위튼에 의해 처음 설명되었듯이,^[2] 2차원 등각 장론(CFT)의 등각 블록 공간은 2+1차원 체른-사이먼스 이론의 양자 힐베르트 공간과 동일시될 수 있으며, 이는 위상적 양자장론의 한 예시이다. 이러한 연결은 분수 양자 홀 효과 이론에서 매우 유용했다.

7. 예

등각 와드 항등식은 등각 대칭으로 인해 상관 함수가 만족하는 선형 방정식이다.^[9] 에너지-운동량 텐서를 포함하는 상관 함수를 분석하여 유도할 수 있으며, 그 해는 등각 블록이다.

구면에서의 등각 와드 항등식을 예로 들면, $z$ 를 구면 상의 복소 좌표로 할 때, $z=\infty$ 에서 에너지-운동량 텐서의 정칙성은 다음과 같다.

: $T(z)\underset{z\to\infty}{=} O\left(\frac{1}{z^4}\right).$

기본 장의 $N$ 점 함수에 $T(z)$ 를 삽입하면 다음 식이 성립한다.

: $\left\langle T(z)\prod_{i=1}^N V_{\Delta_i}(z_i) \right\rangle = \sum_{i=1}^N\left(\frac{\Delta_i}{(z-z_i)^2} +\frac{1}{z-z_i}\frac{\partial}{\partial z_i}\right)\left\langle \prod_{i=1}^N V_{\Delta_i}(z_i) \right\rangle.$

이 두 방정식에서 파생 장의 $N$ 점 함수를 기본 장의 $N$ 점 함수로 표현하는 국소 와드 항등식을 얻을 수 있다. 또한, 기본 장의 $N$ 점 함수에 대한 세 개의 미분 방정식인 전역 등각 와드 항등식도 유도 가능하다.

: $\sum_{i=1}^N \left(z_i^k\frac{\partial}{\partial z_i} +\Delta_i k z_i^{k-1}\right) \left\langle \prod_{i=1}^N V_{\Delta_i}(z_i) \right\rangle = 0, \qquad (k\in\{0, 1, 2\}).$

이 항등식은 2점 함수와 3점 함수가 $z$ 에 의존하는 방식을 결정한다.

: $\left\langle V_{\Delta_1}(z_1)V_{\Delta_2}(z_2) \right\rangle \begin{cases} = 0 & \ \ (\Delta_1\neq \Delta_2) \\ \propto (z_1-z_2)^{-2\Delta_1}& \ \ (\Delta_1= \Delta_2) \end{cases}$

: $\left\langle V_{\Delta_1}(z_1)V_{\Delta_2}(z_2)V_{\Delta_3}(z_3) \right\rangle \propto (z_1-z_2)^{\Delta_3-\Delta_1-\Delta_2} (z_2 -z_3)^{\Delta_1-\Delta_2-\Delta_3} (z_1 -z_3)^{\Delta_2-\Delta_1-\Delta_3},$

여기서 비례 계수는 $\bar z$ 의 함수이다.

상관 함수를 여러 방법으로 등각 블록으로 표현할 수 있을 때, 그 결과는 상태 공간과 3점 구조 상수에 대한 제약 조건이 된다. 이를 등각 부트스트랩 방정식이라 한다. 와드 항등식은 상관 함수에 대한 선형 방정식이지만, 등각 부트스트랩 방정식은 3점 구조 상수에 비선형적으로 의존한다.

4점 함수 $\left\langle V_1V_2V_3V_4 \right\rangle$ 는 $V_1V_2$ (s-채널), $V_1V_4$ (t-채널), $V_1V_3$ (u-채널)의 OPE를 써서 세 가지 방식으로 등각 블록으로 표현 가능하다. 이 세 결과의 동일성은 4점 함수의 교차 대칭성이며, OPE의 결합 법칙과 같다.^[1]

토러스 분할 함수는 토러스 모듈러스에 대한 모듈러 군 작용에 불변인데, 이는 $Z(\tau) = Z(\tau+1)=Z(-\frac{1}{\tau})$ 와 같다. 이 불변성은 상태 공간에 대한 제약이다. 모듈러 불변 토러스 분할 함수 연구는 모듈러 부트스트랩이라고도 불린다.

구면 위 CFT의 일관성은 4점 함수 교차 대칭성과 같다. 모든 리만 곡면 위 CFT는 토러스 1점 함수의 모듈러 불변성도 필요하다.^[5] 따라서 토러스 분할 함수의 모듈러 불변성은 CFT 존재에 필수도 충분도 아니다. 그러나 표현의 지표가 구면 4점 등각 블록 등 다른 등각 블록보다 간단하여, 유리 CFT에서 널리 연구된다.

7. 1. 2차원 자유 스칼라장

2차원 등각 장론의 가장 간단한 예시는 하나의 자유 실수 스칼라장

\Phi(z,\bar z)

를 포함하는 모형이다.^[15]^[32] 이 모형은 다음과 같은 작용을 갖는다.

:

S=\frac1{4\pi\alpha'}\int d^2z\,\partial\Phi\bar\partial\Phi

이 경우 스칼라장

\Phi

는 다음과 같은 2점 함수를 가진다.

:

\langle\Phi(z,\bar z)\Phi(z,\bar\Phi)=-\frac12\alpha'\ln|z-w|^2

위 작용의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

:

\partial\bar\partial\Phi(z,\bar z)=0

이 방정식을 사용하여,

\Phi

를 다음과 같이 분해할 수 있다.

:

\Phi(z,\bar z)=\phi(z)+\bar\phi(\bar z)

이 경우,

\phi(z)

와

\bar\phi(\bar z)

는 각각 다음과 같은 2점 함수를 가진다.

:

\langle\phi(z)\phi(z')\rangle=-\frac12\alpha'\ln(z-z')

:

\langle\bar\phi(z)\bar\phi(z')\rangle=-\alpha'\ln(\bar z-\bar z')

\partial\phi

의 2점 함수는 다음과 같다.

:

\langle\partial\phi(z)\partial\phi(z')\rangle=-\frac{\alpha'}{2(z-w)^2}+\cdots

따라서,

\phi

와

\bar\phi

는 1차장이 아니지만,

\partial\phi

와

\bar\partial\bar\phi

는 1차장을 이룬다. 또한,

\exp(ik\phi)

도 1차장을 이룬다.

이 이론의 1차장들과 그 무게는 다음과 같다.

1차장	무게 $(h,\bar h)$
$1$	$(0,0)$
$\partial\phi(z)$	$(1,0)$
$\bar\partial\bar\phi(\bar z)$	$(0,1)$
$:\exp(ik\phi(z)/\sqrt{\alpha'}):$	$(k^2/4,0)$
$:\exp(-ik\bar \phi(\bar z)/\sqrt{\alpha'}):$	$(0,k^2/4)$

이 이론의 중심 전하는 $(c,\bar c)=(1,1)$ 이다. 일반적으로, $n$ 개의 스칼라장을 포함하는 등각 장론의 중심 전하는 $c=n$ 이다.

자유 스칼라장 등각 장론을 타원곡선 위에 정의하면, 그 분배 함수는 다음과 같다.^[17]

: $\mathcal Z(\tau,\bar\tau)=\frac1{\sqrt{\operatorname{Im}\tau}}\frac1{\eta(\tau)\bar\eta(\bar\tau)}$

여기서 $\eta(\tau)$ 는 데데킨트 에타 함수다. $1/\sqrt{\operatorname{Im}\tau}$ 인자는 끈 이론에서 끈의 질량 중심의 운동량 모드에 해당한다.

7. 2. 축소화 자유 스칼라장

자유 스칼라장 모형을 약간 변화시켜, '''축소화 자유 스칼라장'''을 생각할 수 있다. 이 경우,

\Phi(z,\bar z)

를 실수값 대신

\mathbb R/2\pi R\cong S^1

값을 가진 장으로 생각한다. 여기서

R\in\mathbb R

은

\Phi

의 주기이다. 끈 이론에서는 이는 시공간을 반지름이

R

이게 축소화하는 것에 해당한다. 이 경우,

\exp(ik\phi)

꼴의 1차장들은

:

\exp(in\phi/R)

(

n\in\mathbb Z)

로 국한된다. 또한, 이 경우 (등각 대칭을 깨고) 퍼텐셜을 추가한다면 감음수에 따른 솔리톤 상태가 존재한다. 예를 들어, 사인-고든 모형이 이에 해당한다.

축소화 스칼라장을 복소 구조 모듈러스가

\tau\in\mathbb H

인 타원곡선에 축소화시켰을 때, 그 분배 함수는 다음과 같다.^[17]

:

Z(\tau,\bar\tau)=\frac1{\eta(\tau)\bar\eta(\bar\tau)}\sum_{m=-\infty}^\infty\sum_{n=-\infty}^\infty q^{(m/R+Rn/2)^2/2}\bar q^{(m/R-Rn/2)^2/2}

여기서

$\eta(\tau)$ 는 데데킨트 에타 함수다.
$q=\exp(2\pi i\tau)$ 이다.

이 분배 함수는 축소화 주기를

:

R\mapsto 2/R

과 같이 치환하여도 바뀌지 않는다. 이는 끈 이론의 T-이중성에 해당한다.

7. 3. 자유 페르미온

하나의 페르미온

\psi

을 포함하는 등각 장론의 중심 전하는

c=1/2

이다. 보손화를 통해, 두 개의 페르미온은 하나의 보손과 같다는 사실을 보일 수 있다.

페르미온의 경우 '''느뵈-슈워츠 경계 조건'''(Neveu–Schwarz boundary condition^영어)과 '''라몽 경계 조건'''(Ramond boundary condition^영어) 두 가지 가능한 경계 조건이 있다.^[15]^[17]^[33] 이들의 구체적인 형태는 공간의 좌표에 따라 달라진다. 공간을

z\in\widehat{\mathbb C}

로 잡고, 무한 과거가

z=0

, 무한 미래가

z=\widehat\infty

인 좌표를 쓸 수도 있고, 대신

z=\exp w

로 하여, 무한 과거가

w=-\infty

, 무한 미래가

w=+\infty

인 좌표를 쓸 수도 있다. 이 경우, 등각 무게가

(h,\bar h)=(1/2,0)

인 페르미온 장

\psi(z)

의 경계 조건은 다음과 같다.

'''느뵈-슈워츠 경계 조건'''에서는

::

\psi(e^{2\pi i}z)=+\psi(z)

::

\psi(w+2\pi i)=-\psi(w)

:이다. 즉, 평면(''z'')에서는 주기적이고, 원기둥(''w'')에서는 반주기적이다.

'''라몽 경계 조건'''에서는

::

\psi(e^{2\pi i}z)=-\psi(z)

::

\psi(w+2\pi i)=+\psi(z)

:이다. 즉, 평면(''z'')에서는 반주기적이고, 원기둥(''w'')에서는 주기적이다.

w\to z

로 좌표를 바꾸면, 무게가 반정수이기 때문에 경계 조건이 주기적에서 반주기적으로 바뀌게 된다.^[15]^[17]

복소 구조가

\tau

인 타원 곡선에서, 자유 페르미온의 분배 함수는 다음과 같다.^[17]

:

\mathcal Z(\tau,\bar\tau)=\frac1{2|\eta(\tau)|}\left(|\vartheta_2(\tau)|+|\vartheta_3(\tau)|+|\vartheta_4(\tau)|\right)

여기서

\vartheta_i(\tau)

는 야코비 세타 함수다.

$|\vartheta_3|/|\eta|$ 는 느뵈-슈워츠 경계 조건의 페르미온의 분배 함수다.
$|\vartheta_4|/|\eta|$ 는 느뵈-슈워츠 경계 조건의 페르미온에서, $(-)^F$ ( $F$ 는 페르미온 수) 연산자를 삽입한 분배 함수 $\operatorname{Tr}(-)^F\exp(\dots)$ 다. 즉, $\frac12(|\vartheta_3|+|\vartheta_4|)/|\eta|$ 는 분배 함수에 사영 연산자 $(1+(-1)^F)/2$ 를 삽입한 것과 같다. 이를 '''GSO 사영'''이라고 한다.
$|\vartheta_2|/|\eta|$ 는 라몽 경계 조건의 페르미온의 분배 함수다.

이렇게 GSO 사영을 가하고 느뵈-슈워츠 경계 조건 및 라몽 경계 조건 둘 다 포함시키지 않으면, 분배 함수는 모듈러 변환에 더 이상 불변이지 않게 된다. 즉, 등각 장론의 일관성에 의하여 GSO 사영이 불가피하다. 끈 이론에서는 이 과정을 통해 타키온 바닥 상태가 없어지게 된다.

7. 4. 유령장

끈 이론에서 (초)등각 대칭을 게이지 고정할 때 등장하는 파데예프-포포프 유령장이다.^[32]^[33] 유령장들의 등각 장론에 등장하는 1차장들은 다음과 같다.

1차장	무게 h
1	0
$b(z)$	$\lambda$
$c(z)$	$1-\lambda$

여기서 $\lambda$ 는 임의의 매개변수이다. 이 경우 에너지-운동량 텐서는 다음과 같다.

: $T(z)=-\lambda:b\partial c:\pm(\lambda-1):c\partial b:$

여기서 만약 $b$ , $c$ 가 가환수이면(보스-아인슈타인 통계를 따르면) -, 반가환수이면 (페르미-디랙 통계를 따르면) +를 취한다.

이 이론의 중심 전하는 다음과 같다 (복부호 동순).

: $c=\mp2(6\lambda^2-6\lambda+1)$

7. 5. 최소 모형

최소 모형은 스펙트럼이 비라소로 대수의 유한 개의 기약 표현으로 구성된 2차원 등각 장론(CFT)이다.^[9] 최소 모형은 중심 전하의 특정 값에 대해서만 존재하며,^[9] 다음과 같이 주어진다.

:

c_{p,q} = 1 - 6 \frac{(p-q)^2}{pq}, \qquad p>q \in\{2,3,\ldots\}.

최소 모형은 ADE 분류를 갖는다.^[3] 특히, 중심 전하

c=c_{p,q}

를 갖는 A-계열 최소 모형은 스펙트럼이 비라소로 대수의

\tfrac{1}{2}(p-1)(q-1)

개의 퇴화된 최저 무게 표현으로 구성된 대각 CFT이다. 이러한 퇴화 표현은 Kac 표를 형성하는 정수 쌍으로 라벨링된다.

:

(r, s) \in \{1,\ldots, p-1\}\times \{1,\ldots, q-1\} \qquad \text{with} \qquad (r, s) \simeq (p-r,q-s).

예를 들어,

c=c_{4,3}=\tfrac{1}{2}

를 갖는 A-계열 최소 모형은 2차원 임계 아이징 모형의 스핀 및 에너지 상관 관계를 설명한다.

7. 6. 리우빌 장론

모든 복소수

c\in\Complex

에 대해, 리우빌 이론은 다음과 같은 컨포멀 차원을 갖는 베르마 모듈로 구성된 대각 CFT이다.

:

\Delta \in \frac{c-1}{24} + \R_+

리우빌 이론은 세 점 구조 상수가 명시적으로 알려져 있다는 점에서 해법이 제시되었다. 리우빌 이론은 끈 이론 및 2차원 양자 중력에 적용된다.

7. 7. 확장된 대칭 대수

비라소로 대수 외에도 확장된 대칭 대수를 갖는 등각 장론들이 존재한다.

일부 CFT에서 대칭 대수는 비라소로 대수뿐만 아니라 비라소로 대수를 포함하는 결합 대수(꼭 리 대수일 필요는 없음)이다. 이 경우 스펙트럼은 해당 대수의 표현으로 분해되며, 대각선 및 유리 CFT의 개념은 해당 대수를 기준으로 정의된다.^[9]

확장된 대칭 대수를 갖는 등각 장론의 예시는 다음과 같다.

베스-추미노-위튼 모형: 리 군 $G$ 에 해당하는 모형으로, 대칭 대수가 $G$ 의 리 대수에서 구성된 아핀 리 대수인 등각 장론이다.^[33]
초대칭 등각 장론: 슈퍼 비라소로 대수 또는 더 큰 대수를 대칭 대수로 갖는 CFT이다.^[5]
W 대수 기반 이론: W 대수는 비라소로 대수를 확장한 형태로, 이를 기반으로 하는 등각장론(CFT)에는 W-최소 모형과 등각 토다 이론이 있다.^[8]

질량이 없는 자유 보존 이론은 2차원에서 등각 불변성을 가지며, 이 대칭 대수는 가환 랭크 1 리 대수로 구성된 아핀 리 대수

\hat{\mathfrak{u}}_1

이다.^[33]

7. 7. 1. 질량이 없는 자유 보존 이론

2차원에서 질량이 없는 자유 보존 이론은 등각 불변성을 갖는다. 이 대칭 대수는 가환 랭크 1 리 대수로 구성된 아핀 리 대수

\hat{\mathfrak{u}}_1

이다.^[33] 이 대칭 대수의 임의의 두 표현의 융합 곱은 단 하나의 표현만을 생성하여, 상관 함수를 매우 간단하게 만든다.

c=1

일 때, 무한한 이산 스펙트럼을 가진 자유 보존 이론의 1-매개변수 모음이 존재하며, 이는 '''콤팩트화된 자유 보존'''을 기술하고, 매개변수는 콤팩트화 반지름이다.^[9]

7. 7. 2. 베스-추미노-위튼 모형

리 군

G

가 주어지면, 이에 해당하는 베스-추미노-위튼 모형은 그 대칭 대수가

G

의 리 대수에서 구성된 아핀 리 대수인 등각 장론이다.^[33] 과녁 공간이 리 군

G

인 시그마 모형을 생각할 수 있는데, 이 경우 적절한 항들을 추가시키면 이론을 등각 장론으로 만들 수 있다. 이러한 모형을 '''베스-추미노-위튼 모형'''이라고 하며, 리 군 속에서 움직이는 끈을 나타낸다.

G

가 콤팩트하면, 이 등각 장론은 유리수이고, 중심 전하는 이산 값을 가지며, 스펙트럼이 알려져 있다.

7. 7. 3. 초대칭 등각 장론

슈퍼 비라소로 대수 또는 더 큰 대수를 대칭 대수로 갖는 CFT을 초대칭 CFT라고 한다. 초대칭 CFT는 특히 초끈 이론과 관련이 있다.^[5]

7. 7. 4. W-대수 기반 이론

W 대수는 비라소로 대수를 확장한 형태로, 이를 기반으로 하는 등각장론(CFT)에는 W-최소 모형과 등각 토다 이론이 있다. W-최소 모형은 최소 모형을 일반화한 것이며, 등각 토다 이론은 리우빌 이론보다 복잡하고 덜 알려져 있다.^[8]

7. 8. 시그마 모형

2차원에서 고전적인 시그마 모형은 등각 불변성을 가지지만, 일부 대상 다양체만이 양자 시그마 모형으로 이어져 등각 불변성을 나타낸다. 이러한 대상 다양체의 예시로는 토러스와 칼라비-야우 다양체가 있다.^[1]

7. 9. 로그 등각 장론

로그 등각 장론은 비라소로 대수 생성자

L_0

의 스펙트럼에 대한 작용이 대각화 가능하지 않은 2차원 등각장론이다. 특히, 스펙트럼은 최저 가중치 표현만으로는 구성될 수 없다. 결과적으로, 상관 함수의 장 위치에 대한 의존성은 로그 함수적일 수 있다. 이는 최저 가중치 표현과 관련된 2점 및 3점 함수의 멱함수 의존성과 대조된다.

7. 10. 임계 Q-상태 포츠 모델

임계 Q^영어-상태 포츠 모델 또는 임계 무작위 클러스터 모델은 임계 이징 모델, 포츠 모델, 침투 이론을 일반화하고 통합하는 등각 장론이다. 이 모델은 포츠 모델에서 정수여야 하지만 무작위 클러스터 모델에서는 모든 복소수 값을 가질 수 있는 매개변수 Q^영어를 갖는다.^[13] 이 매개변수는 다음과 같은 중앙 전하와 관련이 있다.

: Q^영어 4cos^2(πβ^2)^영어 c=13-6β^2-6β^-2^영어

Q^영어의 특수한 값은 다음과 같다.^[11]

Q^영어	c^영어	관련 통계 모델
0^영어	-2^영어	균일한 스패닝 트리
1^영어	0^영어	침투 이론
2^영어	1/2^영어	이징 모델
(3+√5)/2^영어	7/10^영어	삼중 임계 이징 모델
3^영어	4/5^영어	삼상 포츠 모델
2+√2^영어	25/28^영어	삼중 임계 삼상 포츠 모델
4^영어	1^영어	아시킨-텔러 모델

알려진 토러스 분배 함수^[12]는 이 모델이 불합리하며 이산 스펙트럼을 갖는다는 것을 시사한다.

8. 역사

아르헨티나의 물리학자 미겔 앙헬 비라소로(Miguel Ángel Virasoro^es)가 1970년에 끈 이론에서 비트 대수 (중심확장을 제외한 비라소로 대수)를 도입하였다.^[34] 이후 그 중심 확장은 와이스 (J. H. Weis^영어)가 도입하였다.

1984년에 알렉산드르 아브라모비치 벨라빈(Алекса́ндр Абрамо́вич Бела́вин^ru)과 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프, 알렉산드르 자몰롯치코프가 2차원 등각 장론을 현대적으로 정의하고, 그 대표적인 성질들을 제시하였다.^[35]

9. 응용

2차원 등각 장론은 끈 이론과 임계 현상을 설명하는 데 응용된다.

끈 이론에서, 비라소로 대수는 끈의 에너지-운동량 텐서의 진동 모드 전개로 나타난다. 닫힌 끈의 경우에는 두 개의 비라소로 대수가 존재하고, 열린 끈의 경우에는 하나의 비라소로 대수만 존재한다. 미분동형사상(좌표 변환) 불변성에 의해, 물리적인 상태에서는 에너지-운동량 텐서가 0이 되어야 한다.

일반적으로 임계 현상은 등각 장론에 의하여 나타내어지며, 특히 2차원 계의 임계 현상은 2차원 등각 장론에 의하여 나타내어진다. 2차원 계의 경우 평균장 이론이 적용되지 않는 경우가 많으며, 이러한 경우 2차원 등각 장론의 기법으로 임계 현상을 설명할 수 있다. 예를 들어, 이징 모형의 경우 4차원 이상에서는 평균장 이론이 잘 적용되지만, 2차원에서는 적용되지 않는다. 이 경우, 2차원 등각 장론의 하나인 최소 모형으로 그 임계 현상을 설명할 수 있다. (3차원의 경우는 현재에도 잘 이해되지 않고 있다.)

9. 1. 끈 이론

끈 이론에서, 비라소로 대수는 끈의 에너지-운동량 텐서의 진동모드 전개로 나타난다. 닫힌 끈의 경우에는 두 개의 비라소로 대수가 존재하고, 열린 끈의 경우에는 하나의 비라소로 대수만 존재한다. 미분동형사상(좌표 변환) 불변성에 의해, 물리적인 상태에서는 에너지-운동량 텐서가 0이 되어야 한다. 이를 양자화하면 특정 조건을 만족시켜야 하는데, 이때 사용되는 상수는 이론에 따라 다르다. 보존 끈 이론에서는 이 값이 1이고, 초끈 이론에서는 NS의 경우 1/2, R의 경우에는 0이다.

보손 끈 이론에서는 등각 대칭의 게이지 고정으로 인해 반가환수 유령장이 존재하며, 이들의 중심 전하는 -26이다. 따라서 보손 끈 이론은 26차원에서 존재한다.

초끈 이론에서는 등각 대칭과 초등각 대칭의 게이지 고정으로 인해 두 종류의 유령장이 존재한다. ''bc'' 유령은 중심 전하가 -26이고, ''βγ'' 유령은 중심 전하가 11이므로, 총 중심 전하는 -15이다. 각 차원에는 하나의 보손(c=1)과 하나의 페르미온(c=1/2)이 존재하므로, 초끈 이론은 10차원의 시공간에서 존재한다.

N=2

초끈 이론은 세계면 이론이 2차원 𝒩=2 초등각 장론인 초끈 이론이다.^[36]^[37] 이 경우, 등각 대칭, 초대칭, U(1) 게이지 대칭에 의한 세 종류의 유령장이 존재한다. ''bc'' 유령은 c=-26, ''βγ'' 유령은 두 쌍이므로 c=22, ''b'′c'′'' 유령은 c=-2이다.

\mathcal N=2

초대칭의 초다중항은 하나의 복소 스칼라와 하나의 복소 페르미온으로 구성되어 c=3이다. 따라서

\mathcal N=2

초끈 이론은 복소 2차원, 즉 4차원에서 존재하며, 시공간은 켈러 다양체를 이루고, 계량 부호수는 (4,0) 또는 (2,2)이다.

9. 2. 임계 현상

일반적으로 임계 현상은 등각 장론에 의하여 나타내어지며, 특히 2차원 계의 임계 현상은 2차원 등각 장론에 의하여 나타내어진다. 2차원 계의 경우 평균장 이론이 적용되지 않는 경우가 많으며, 이러한 경우 2차원 등각 장론의 기법으로 임계 현상을 설명할 수 있다. 예를 들어, 이징 모형의 경우 4차원 이상에서는 평균장 이론이 잘 적용되지만, 2차원에서는 적용되지 않는다. 이 경우, 2차원 등각 장론의 하나인 최소 모형으로 그 임계 현상을 설명할 수 있다. (3차원의 경우는 현재에도 잘 이해되지 않고 있다.)

참조

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_[2] 논문 Quantum Field Theory and the Jones Polynomial http://projecteuclid[...] 1989
_[3] 간행물 A-D-E Classification of Conformal Field Theories http://www.scholarpe[...] 2010
_[4] 논문 Toward classification of conformal theories Elsevier BV
_[5] 논문 Classical and quantum conformal field theory http://projecteuclid[...]
_[6] 웹사이트 On the Lego-Teichmuller game https://ui.adsabs.ha[...] 1998-09-10
_[7] 논문 Naturality in conformal field theory Elsevier BV
_[8] 논문 Integrable Structure of Conformal Field Theory, Quantum KdV Theory and Thermodynamic Bethe Ansatz
_[9] 서적 Conformal Field Theory Springer-Verlag 1997
_[10] 논문 A guide to two-dimensional conformal field theory 2017-08-02
_[11] 논문 A conformal bootstrap approach to critical percolation in two dimensions
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_[17] 서적 Introduction to conformal field theory with applications to string theory Springer 2009
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_[20] 저널 An introduction to conformal field theory
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_[35] 저널 Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory 1984-07
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